Facebook Udin: BAB XII TEORI PERMAINAN

TEORI PERMAINAN (GAME THEORY)

PENGANTAR

Teori permainan (game theory) dikembangkan untuk tujuan menganalisis situasi persaingan yang melibatkan berbagai kepentingan. Teori ini berangkat dari keadaan dimana terdapat dua orang atau lebih dengan tujuan atau kepentingan yang saling berbeda terlibat dalam suatu “permainan”, tindakan masing-masing pemain-walaupun tidak sepenuhnya menentukan-turut mempengaruhi hasil akhir dari permainan. Teori ini dikembangkan untuk menganalisa proses pengambilan keputusan dari situasi-situasi persaingan yang berbeda-beda dan melibatkan dua atau lebih kepentingan. Misalnya, para manajer pemasaran bersaing dalam memperebutkan pangsa pasar, para pimpinan yang terlibat dalam penawaran kolektif, dan sebagainya. Teori ini menyediakan cara penyelesaian untuk permainan semacam itu, dengan menganggap bahwa masing-masing pemain senantiasa berusaha memaksimumkan keberuntungannya yang minimum, atau meminimumkan keuntungannya yang maksimum. Kriteria semacam ini dikenal dengan criteria maksimin atau minimaks, merupakan dasar bagi strategi permainan yang dikembangkan oleh John Von Neumann dan Oskar Morganstern, penerapannya diberbagai bidang kehidupan kemudian dikembangkan oleh para ahli statistic.

12.1 UNSUR-UNSUR DASAR TEORI PERMAINAN

Ada beberapa unsure atau konsep dasar yang sangat penting dalam penyelesaian setiap kasus dengan teori permainan. Mereka adalah (1) jumlah pemain, (2) ganjaran (payoff), (3) strategi permainan, (4) matriks permainan, dan (5) titik pelana.

Jumlah Pemain

Permainan diklasifikasikan menurut jumlah kepentingan atau tujuan yang ada dalam permainan trsebut. Dalam hal ini perlu dipahami bahwa jumlah pemain tidak selalu sama dengan jumlah orang yang terlibat dalam permainan, jumlah pemain disini berarti jumlah kelompok pemain berdasarkan masing-masing kepentingan atau tujuannya. Bentuk permainan yang sering dianalisis oleh teori permainan adalah bentuk permainan yang melibatkan dua kepentingan atau dua kelompok pemain.

Ganjaran (payoff)

Unsur lain yang juga penting dalam pengklasifikasian permainan adalah “ganjaran”, yaitu hasil akhir yang terjadi pada akhir permainan. Berkenaan dengan ganjaran ini, permainan digolongkan ke dalam dua kategori yaitu permainan jumlah nol (zero-sum-games) dan permainan jumlah bukan nol (non-zero-sum-games). Jika jumlah ganjaran dari seluruh pemain adalah nol, yakni dengan memperhitungkan setiap keuntungan sebagai bilangan positif dan setiap kerugian sebagai bilangan negative, maka permainan demikian adalah permainan jumlah nol, lain dari itu merupakan permainan jumlah bukan nol.

Dalam permainan jumlah nol, setiap kemenangan bagi satu pihak merupakan kekalahan bagi pihak lain. Letak arti penting dari perbedaan kedua kategori permainan berdasarkan ganjaran ini adalah, bahwa permainan jumlah nol merupakan suatu system yang tertutup, sedangkan permainan jumlah bukan nol tidak demikian halnya. Hampir semua permainan pada dasarnya merupakan permainan jumlah nol. Berbagai situasi dianalisis sebagai permainan jumlah nol. Buku ini hanya membatasi pembahasan hanya pada permainan jumlah nol.

Strategi Permainan

Pengertian strategi dalam teori permainan adalah suatu siasat atau rencana tertentu dari seorang pemain, sebagai reaksi atas aksi yang mungkin dilakukan oleh pemain lain yang menjadi saingannya. Disamping menurut jumlah pemain dan ganjarannya sebagaimana diterangkan di atas, permainan diklasifikasikan pula menurut jumlah strategi yang tersedia bagi masing-masing pemain. Jika pemain pertama memiliki m kemungkinan strategi dan pemain kedua memiliki n kemungkinan strategi, maka permainan demikian dinamakan permainan m x n. Letak arti penting dari pembedaan jenis permainan berdasarkan jumlah strategi ini adalah bahwa permainan dibedakan menjadi permainan berhingga dan permainan tak berhingga.

Permainan dikategorikan sebagai permainan berhingga apabila jumlah strategi yang dimiliki oleh setiap pemian berhingga atau tertentu, sedangkan jika setidak-tidaknya seorang pemain memiliki jumlah strategi yang tak berhingga atau tak tertentu, maka permaina tersebut dikategorikan sebagai permainan tak berhingga. Uraian teori dalam buku ini hanya dibatasi pada kasus permainan berhingga saja.

Berdasarkan uraian di atas, jelaslah bahwa ketiga unsure yang telah dibahas merupakan unsure-unsur yang membedakan bentuk atau jenis sebuah permainan. Telah pula ditegaskan bahwa teori permainan yang akan diuraikan dalam buku ini terbatas hanya pada kasus “permainan dengan dua-pemain dan jumlah-nol serta strategi-berhingga,

Matriks Permainan

Setiap persoalan yang dianalisis dengan teori permainan senantiasa disajikan dalam bentuk sebuah matriks permainan. Matriks permainan disebut juga matriks ganjaran adalah sebuah matriks yang memiliki unsure-unsur berupa ganjaran dari para pemain yang terlibat dalam permainan tersebut. Baris-barisnya melambangkan strategi-strategi yang dimiliki pemain pertama, sedangkan kolom-kolomnya melambangkan strategi-strategi yang dimiliki pemain lain. Dengan demikian, permainan berstategi m x n dilambangkan oleh matriks permainan m x n.

Teori permainan berasumsi bahwa strategi yang tersedia bagi masing-masing pemain dapat dihitung dan ganjaran yang berkenaan dengannya dapat dinyatakan dalam unit, meskipun tidak selalu harus dalam unit moneter. Hal penting bagi penyelesaian permainan, yakni untuk pemilihan strategi yang akan dijalankan masing-masing pemain, dengan menganggap bahwa masing-masing pemain berusaha memaksimumkan keberuntungannya yang minimum (maksimin) atau meminimumkan kerugianyya yang maksimum (minimaks).

Titik Pelana

Jika dalam suatu matriks permainan terdapat sebuah unsure yang merupakan unsure maksimum dari minimum baris dan unsure minimum dari maksimum kolom sekaligus, maka unsure tersebut dinamakan titik pelana (saddle point). Jasi titik pelana adalah suatu unsure dalam matriks permainan yang sekaligus merupakan maksimin baris dan minimaks kolom.

Langkah pertama penyelesaian sebuah matriks permainan adalah mengecek ada tidaknya titik pelana. Bila terdapat titik pelana, permaian dapat segera dianalisis untuk diselesaikan. Akan tetapi bila tidak terdapat titik pelana, diperlukan penelaahan lebih lanjut.

12.2. PERMAINAN DUA - PEMAIN JUMLAH - NOL

Permainan dua-pemain jumlah-nol adalah model konflik yang paling umum dalam dunia bisnis. Permainan ini dimainkan oleh 2 (dua) orang, 2 kelompok, atau 2 organisasi yang secara langsung mempunyai kepentingan yang berhadapan. Disebut permainan jumlah nol karena keuntungan (kerugian) seseorang adalah sama dengan keuntungan (kerugian) seorang lainnya, sehingga jumlah total keuntungan dan kerugian adalah nol.

Ada dua permainan dua – pemain jumlah – nol, yaitu yang dikenal dengan permainan strategi murni, dimana setiap pemain mempergunakan strategi tunggal dan permainan strategi campuran, dimana kedua pemain memakai campuran dari beberapa strategi yang berbeda-beda.

12.2.1 Permainan Strategi Murni

Dalam permainan strategi murni, strategi optimal untuk setiap pemain adalah dengan mempergunakan strategi tunggal. Dalam permainan ini, pemain baris (maximizing player) mengidentifikasikan strategi optimalnya melalui aplikasi criteria maksimin (maximin). Sedangkan pemain kolom (minimizing player) menggunakan criteria minimaks (minimax). Pertemuan antara nilai maksimin dan nilai minimaks disebut titik pelana.

Bila nilai maksimin tidak sama dengan minimaks, titik pelana tidak dapat dicapai, sehingga permainan tidak dapat dipecahkan dengan mempergunakan strategi murni. Permainan tanpa titik pelana diselesaikan dengan strategi campuran.

Sebagai gambaran akan diberikan suatu contoh kasus situasi dimana dua perusahaan sedang dalam proses penentuan strategi-strategi periklanannya. Anggap bahwa perusahaan A mempunyai dua strategi dan B mempunya tiga strategi. Strategi-strategi tersebut dan pay offnya (missal kenaikan market share) disusun dalam bentuk permainan dua-pemain jumlah-nol, seperti terlihat pada table 12.1 berikut:

Tabel 12.1 Matriks permainan dan penyelesaian criteria maksimin dan minimaks.

Perusahaan B

Minimum

Baris

B1 B2 B3

Perusahaan A

1 9 2

8 5

4 Maksimin

Maksimum Kolom

8 9 4

Minimaks

Perhatikan matriks permainan pada table di atas dengan titik pandangan pemain baris, yaitu perusahaan A, bila strategi A1 dipilih, perusahaan B akan memilih B1, dan payoff perusahaan A adalah 1. Sekarang, bila strategi A2 yang dipilih, perusahaan B akan memilih B3, dan payoff perusahaan A adalah 4. Oleh karena itu perusahaan A akan dalam posisi yang paling menguntungkan bila memakai strategi A2.

Kemudian perhatikan pemain kolom, perusahaan B. Dalam hal ini strategi B3 mendominasi B2, sehingga perusahaan B tidak akan pernah menggunakan strategi B2. Sekarang bila strategi B1 yang dipilih, perusahaan A akan memilih A2, dan B akan kehilangan 8 %. Bila strategi B3 yang dipilih, perusahaan A akan memilih A2, dan B hanya akan mengalami kerugian 4. Perusahaan B akan dalam posisi paling menguntungkan bila memakai strategi B3 dengan nilai titik pelana 4 (minimaks = maksimin).

12.2.2 Permainan Strategi Campuran

Untuk menjelaskan strategi ini akan digunakan contoh dua perusahaan yang sedang dalam penentuan strategi harga. Anggap bahwa setiap perusahaan mempunyai tiga strategi (harga rendah, sedang dan tinggi). Tabel 7.2 menunjukkan strategi-strategi dan payoff bentuk permainan dua-pemain jumlah-nol ini. Masalahnya adalah mengidentifikasikan strategi optimal untuk masing-masing perusahaan.

Tabel 12.2. Matriks Permainan Strategi-Campuran

	Perusahaan B	Minimum Baris
	B1 B2 B3	Minimum Baris
A1 Perusahaan A A2 A3	2 5 7 -1 2 4 6 1 9	1 -1 1
Maksimum Kolom	6 5 9

Dari table di atas, diketahui bahwa nilai maksimin tidak sama dengan minimaks. Oleh karenanya tidak dapat ditemukan titik pelana. Kemudian dengan menerapkan aturan dominan, dalam table di atas, strategi B3 didominasi oleh B2, sehingga kolom B3 dapat dihilangkan. Selanjutnya diketahui juga bahwa baris A2 didominasi oleh baris A1, sehingga baris A2 dapat dihilangkan.

Matriks permainan berubah menjadi permainan 2 x 2, seperti Nampak pada table berikut:

Tabel 12.3 Reduced Game Matrix

	Perusahaan B	Minimum Baris
	B1 B2	Minimum Baris
A1 Perusahaan A A3	2 5 6 1	2 1
Maksimum Kolom	6 5

Pemecahan masalah atau penyelesaian permainan strategi campuran dapat dilakukan dengan: (1) metode grafik; (2) metode analitis; (3) metode aljabar matriks; dan (4) metode linear programming. Selanjutnya penyelesaian hanya akan dilakukan dengan metode analitis dan metode aljabar matriks. Untuk metode lainnya dapat dilihat pada pembahasan tentang linear programming.

(1) Metode Analitis

Pendekatan strategi campuran bertujuan mengembangkan pola strategi-strategi campuran agar keuntungan (kerugian) yang diharapkan adalah sama.Pola ini dikembangkan dengan menentukan suatu distribusi probabilitas untuk strategi-strategi yang berbeda. Nilai-nilai probabilitas ini memungkinkan untuk ditemukannya strategi-strategi campuran yang optimum. Nilai-nilai probabilitas pay off dapat dihitung dengan cara sebagai berikut:

Untuk perusahaan A. Anggap bahwa digunakan strategi A1 dengan probabilitas p, dan strategi A3 probabilitasnya 1 – p. Anggap bahwa B menggunakan strategi B1, maka keuntugan yang diharapkan A adalah:

2p + 6 (1 – p) = 6 - 4p

Bila B menggunakan strategi B2, maka keuntungan yang diharapkan A adalah:

5p + 1 ( 1 – p) = 1 + 4p

Strategi optimal untuk perusahaan A didapatkan dengan menyamakan kedua pay off yang diharapkan tersebut, diperoleh:

6 - 4p = 1 + 4p

Atau,

P = 5/8 = 0,625

Ini berarti perusahaan A seharusnya menggunakan strategi A1 62,5 % dan strategi A3 37,5 %.

Keuntungan yang diharapkan perusahaan A:

= 0,625 (2) + 0,375 (6)

= 0,625 (5) + 0,375 (1)

= 3,5

Untuk perusahaan B. Dengan cara serupa dapat dihitung pay off yang diharapkan untuk perusahaan B. Probabilitas untuk strategi B1 adalah q dan B2 adalah 1 – q. Bila perusahaan A menggunakan strategi A1, kerugian yang diharapkan B adalah:

2q + 5 (1 – q) = 5 - 3q

Sekarang, bila perusahaan A menggunakan strategi A3, kerugian yang diharapkan B adalah:

6q + 1 (1 – q) = 1 + 5q

Starategi optimal untuk B adalah:

5 – 3q = 1 + 5q

Atau,

Q = 4/8 = 0,50

Ini berarti perusahaan B seharusnya mempergunakan strategi B1 50 % dan strategi B2 50%.

Kerugian yang diharapkan B adalah:

= 0,5 (2) + 0,5 (5)

= 0,5 (6) + 0,5 (1)

= 3,5

Dari uraian di atas dapat disimpulkan dua hal, pertama dengan mempergunakan strategi campuran dapat dicapai titik yang equilibrium dimana keuntungan yang diharapkan oleh maximizing player sama dengan yang diharapkan minimizing player.

(2) Metode Aljabar Matriks

Metode aljabar matriks adalah cara lain untuk menyelesaikan suatu permainan yang mempunyai matriks segi empat. Untuk menjelaskan prosedur penyelesaiannya, akan digunakan kembali permainan 2 x 2 dengan strategi campuran sebelumnya. Bentuk matriksnya adalah sebagai berikut:

B1 B2